Vi uma palestra (pela Internet) extremamente interessante, o seu titulo era "Arithmetic, population and energy" pelo Dr. Albert Bartlett, da universidade do Colorado (Boulder). A palestra tratava do problema do crescimento exponencial e da forma como este não pode continuar num mundo com recursos finitos, mostrando em termos muito simples as implicações do crescimentos exponencial que estamos a assistir nas mais diversas áreas, por exemplo crescimento económico, consumo de recursos não renováveis, etc...
Quem entender bem a língua inglesa pode fazer o download dessa palestra, em:
Na palestra é dado um exemplo muito conhecido de crescimento exponencial a história é mais ou menos esta:
Um Rei muito poderoso estava saciado da guerra e não tinha inimigos internos ou externos. Então chama um dos seus ministros, Sassa. O Rei diz-lhe que pensa dia e noite na guerra, mas que como não têm inimigos e fazer a guerra sem razão é imoral, está perdido sem razão para viver. Pede pois ao seu ministro que busque na sua sabedoria uma forma de fazer passar o tempo de forma agradável.
Sassa encontra a solução para o problema do Rei no jogo de Xadrez. O Rei, por seu lado, fica tão feliz com a solução do ministro que lhe propõe ser ele a decidir a sua recompensa, qualquer coisa que estivesse no puder do Rei conceder seria concedido sem mais reservas.
Sassa pede simplesmente que lhe seja dado arroz. Um bago de arroz pelo primeiro quadrado do jogo de xadrez, mais dois pelo segundo, mais quatro pelo terceiro, mais oito pelo quarto e assim por diante até ao sexagésimo quarto quadrado.
Ao principio todos, incluindo o Rei, desdenharam tão misera recompensa tendo em conta o puder e riqueza do Rei e do seu reino. No entanto, rapidamente chegaram à conclusão que nem todo o grão do reino seria suficiente para recompensar Sassa, nem mesmo todo o grão do mundo. É este o problema das progressões geométricas e do crescimento exponencial.
A conta faz-se facilmente:
| Quadrado Número | Número de bagos | Acumulado |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 3 |
| 3 | 4 | 7 |
| 4 | 8 | 15 |
| ... | ... | ... |
| 63 | 2^62 | 2^63 - 1 |
| 64 | 2^63 | 2^64 - 1 |
Para os menos inclinados para a matemática 2^64 quer dizer 2x2x2... 64 vezes. O número final é 2^64-1 = 18 446 744 073 709 551 615 bagos de arroz.
Há vários aspectos bastante interessantes a ter em conta nesta progressão:
Se considerarmos outras taxas de crescimento teremos períodos diferentes necessários para que as quantidades sejam o dobro em relação ao periodo anterior.
Por exemplo se considerarmos a produção de um bem qualquer que tenha uma taxa de crescimento de 7% ao ano, facilmente se vê que ao fim de 10 anos a produção vai ser mais ou menos o dobro do que era no primeiro ano.
Disto o que devemos reter é que no quadro da economia actual que exige crescimentos sempre positivos para se puder considerar saudável, é incomportável a manutenção desses mesmos crescimentos, dado que se estão a gastar os recursos de uma forma exponencial.
NOTA: O número de anos necessários para a produção de um determinado bem atingir o dobro da produção actual, se crescer t% ao ano é dada por:
n = ln(2)/ln(1+t)
No caso de termos t = 7% temos n=10.2448 anos.
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